целое семейство кривых сравнения С, определяемое уравнением

где -параметр, г(ж)-произвольная функция, удовлетворяющая условиям: г?(Жо)=0,

n{xi)=0, т. к. у{Хо) = у(Хо) = Уо, y(Xi) = y(Xi) = -у; очевидно, при а=0, получаем кривую С, а при малых значениях а-кривые, близкие к С. Вычисляя /р, получим интеграл как функцию параметра а, входящего через посредство у яу; обозначим ее черезФ{к), т. е.

11-1Е{х,у,у)ах=Ф{а). а;.

Из предположения, что имеет минимальное значение, вытекает минимум функции Ф( ), при =0; т.о.вопрос сведен к задаче, решаемой методами дифференциального исчисления. Необходимым условием минимума является равенство Ф(0)=0. Нахождение Ф{0) является частным случаем варииро-вания; результат вариирования называется вариацией и обозначается символом 6.

Итак, процесс вариирования величины, зависящей от функции у{х), заключается в том, что мы заменяем эту функцию более сложной функцией содержащей параметр ; вследствие этого заданная величина становится функцией этого параметра. Продифференцировав эту функцию по а, полагаем в результате =0; результат представляет собой вариацию заданной величины. Условие, чтобы заданная величина достигала максимума или минимума, заключается в том, что ее вариация должна обращаться в нуль, как бы ни была выбрана произвольная функция ri(x).

Как уже сказано, этот прием чаще всего приходится применять к вычислению экстремума определенного интеграла. Поэтому, по установлении этих идей, следующим шагом в В. и. является вычисление вариации определенного интеграла, к-рый, как выяснено выше, в простейшем случае имеет вид:

/с - J F{x, у, у) dx.

Заменяя здесь у(х) через y(x)-{-arj{x) и, следовательно , у через у (х) + aj] (ж), получим:

= / + ?() + сс ri\x)] dx.

Это выражение нужно продифференцировать по и в результате положить =0. По известному правилу дифференцирования определенного интеграла, это дифференцирование придется выполнить под знаком интеграла. Так как, с другой стороны, это выражение получится из интеграла /<, указанной выше заменой функций у и у, так что входит только в новые выражения для у я у, то дифференцировать подинтеграль-ную функцию придется, как сложную функцию. Если через К, и Еу, обозначим производные функпии Е(х, у, у по у и у, то

произ! ........1\:грала I по а , в которой а

положим равной О, даст вариацию (У7дВвиде

die = SlFvi) + F, vix)] dx.

Дальнейшее преобразование, в к-ром главным моментом является интегрирование второго слагаемого по частям, дает:

6Ic=jlF,-F}jri{x)dx.

Чтобы интеграл 1 получил наибольшее или наименьшее значение, необходимо, чтобы эта вариация обращалась в О, т. е. чтобы

r}{x)dx=0

при произвольной функции именно

вследствие этого произвола, как устанавливает т. н, основная лемма В. и., это равенство возможно лишь, если 1-й множитель под знаком интеграла равен 0. Так. обр. дающая экстремум функция у{х) необходимо удовлетворяет ур-ию Лагранжа-Эйлера:

или подробнее

F;- F,y,-Fyy,y-Iy,y, у = О, где Fy, Fyy Fy у, суть вторые производные функции F по соответствующим переменным. Это-дифференциальное ур-ие 2-го порядка для у; его интегральные кривые называются экстремалями. Общее решение имеет вид:

у=(р{х, сс, /9), где а и -две произвольные постоянные; в нашей задаче для их определения служат два граничных условия:

Определив из них и /9 и вставив их значения в функцию <р, мы получим экстремаль, проходящую через две заданные точки. В примере 1-м

F=VT+r-,Fy = 0, ir=7=-

Уравнение Лагранжа - Эйлера имеет вид d

=0, или

= О, или у = 0.

Интегрируя, находим: у=ах+Ъ; экстремали-прямые линии. В примере 2-м

у йх-У я dx

Найдя экстремаль, необходимо исследовать, дает ли она действительно экстремум и что именно-максимум или минимум. В дифференциальном исчислении для решения аналогичной задачи исследуется знак второй производной; в В. и. прежде математики (Якоби) шли путем изучения второй вариации (второй производной по к при а=0). Но Вейерштрас показал, что т. о. мы еще не получаем достаточных, условий экстремума; он дал теорию, основанную на непосредственном сравнении 1 и 1

Кроме простейшей задачи В. п., существуют и другие, напр., один или оба конца экстремали, вместо условия проходить через данную точку, м. б. подчинены условию лежать на заданных кривых; тогда дифференциальное уравнение экстремалей остается неизменным, но ур-ия граничных условий

принимают другую форму (таковы задачи о кратчайшем расстоянии от точки до кривой или между двумя кривыми). Далее, подинтегральная функция F может зависеть от двух (или от п) искомых функций. Пусть, например, а;,

Ic=JF(x, у, у, z, z) dx,

где у(х) и z{x)-искомые функции; граничные условия для случая неподвижных концов выразятся так: у{Хо)=Уо, y(Xj)=yi, z(Xo)=2;o, 0(Xj)=0i; Хо, Уо, Zo, Xi, у, Zi - заданные числа. Для вариации мы получим (после интегрирования по частям):

iI.=f{{F,-l,F,) %+ {P.-lF,.)i.]dx.

Приравнивая ее нулю и применяя основную лемму, получим два ур-ия Лагранжа-Эйле-ра для нахождения двух искомых функций:

С другой стороны, можно разыскивать методами вариационного исчисления экстремум интеграла

1с= J F (X, у, уy<.*))dx;

дифференциальное уравнение экстремали в этом случае имеет вид:

оно - порядка 2п; в качестве граничных условий в случае неподвижных концов задаются значения функции у и п-1 ее производных при аз =а;о и ж =cci. Расширяя постановку вопроса в другом направлении, мы придем к задаче об экстремуме двойного интеграла, распространенного на заданную плош;адь S , ограниченную кривой С:

1= Fix,y,z,z,Zy) dx dy. s

Значение I зависит от выбора функции z от двух независимых переменных хну, Zj. и Zy обозначают частные производные

и в качестве граничных условий в простейшем случае задаются значения, которые искомая функция должна принимать на контуре С. В этом случае для определения Z получается уравнение с частными производными 2-го порядка:

дх ду -у

Встречаются и более сложные задачи, где F выражает зависимость от частных производных функции2 порядка второго и высших,

На-ряду с изложенным способом решения задач В, и. (сведением их искусственным приемом к дифференциальным ур-иям), в последнее время все большее распространение получают т. н, прямые методы, ставящие целью непосредственное разыскание функции, решающей задачу В, и. Из них для приложений особенно важен метод

Ритца - нахождения приближенного решения задач В. и. Сущность его такова. Выберем систему функций <Di(x), (oix), <а{х),... так, чтобы их линейная комбинация в конечном числе:

(Ci,C2,...,c - постоянные) могла с любой точностью представить всякую непрерывную функцию, удовлетворяющую данным граничным условиям [такова для граничных условий 2/(0) =0, у{рс)=0 система: sin ж, sin 237, sinSa;,...; для любого интервала и любых условий на концах-система соответственным образом подобранных многочленов от ж]. Задав число п, подставляем выражение у на место у в 1 п интегрируем, рассматривая Cj, С2,...,с как параметры:

j* у)dx= Oici, Сз ..,cj.

Находим экстремум этой последней функции по правилам дифференциального исчисления; имеем п уравнений:

= o =0 - = 0

вс, ас, дсп

для определения и неизвестных с, С2,...,с , Вставляя найденные значения в выражение для Уп, найдем функцию, приближенно представляющую экстремаль. Приближение, вообще говоря, будет тем точнее, чем ббльшим числом членов п мы задаемся.

В. и. имеет большое приложение в механике, в связи с так назыв, принципом Гамильтона. Рассмотрим сначала этот принцип в применении к механике системы точек. Пусть положение системы вполне определяется п независимыми параметрами (обобщен, к о о р д и н ат ы) 2, 3п-Чтобы знать движение, нам надо определить Qi, Qz,..., Зм в функции времени t. Так как в нашем случае связи не зависят от времени, живая сила (кинетическая энергия) системы имеет вид:

Т= Aik(qi,...,qn)qiqk

где qi

dqi dt

Пусть внешние силы зависят только от положения системы точек и имеют потенциал; тогда потенциальная энергия будет функцией положения системы:

V=V(qi,qz,...,qJ. Принцип Гамильтона утверждает, что истинное движение в промежуток времени от до ti протекает так, что для интеграла

l = fiT-V)dt

искомые функции qit) обращают в О его вариацию: 61=0. Т.к. в большинстве случаев действительного движения этот интеграл есть минимум, а функция Т- V носит в механике название действия, то данный принцип часто называют принципом наименьшего действия. Применяя методы В. и. и замечая, что V не зависит

от el, qz,..., мы приходим для определения п

функций qi(t) к системе из п дифференциальных уравнений:

dt \dqi j dqi

где г = 1,2,.. п.

Это - ур-ия движения в форме, указанной Лагранжем.

В применении к механике системы принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона, представляя простую математическую формулировку законов движения. Распространенный на механику непрерьшной среды, он дает возможность легко выводить дифференц. ур-ия движения. Возьмем, напр., случай колебаний упругого стержня, рас-полол-сенного на оси х с концами при х=0 и х=1; обозначим через u(x,t) отклонение точки с абсциссой х от положения равновесия в момент времени t. Обозначая через Q линейную плотность стержня, получаем для Т выражение:

Т=~ S Qu\dx. о

Потенциальная энергия элемента длины dx стержня пропорциональна квадрату кривизны; пренебрегая в выражении кривизны

по малости Мд, членом в знаменателе и беря фактор пропорциональности в виде у,

имеем для потенциальной энергии всего стержня:

Принцип Гамильтона дает: t

(T-r)dt = 0,

1 -i:lz)dx-dt:=o.

*о о

Применяя ф-лу вариации двойного интеграла, получаем:

или, в случае постоянных Q я /г,

Помимо теоретич, значения, принцип Гамильтона в последнее время получает все большее значение в приложениях, где он позволяет весьма трудную задачу решения дифференц, ур-ий с частными производными при заданных граничных условиях заменить задачей нахождения экстремума интеграла, для приближенного решения которой применяется, например, метод Ритца.

Лит.: Егоров Д. Ф., Основания вариацион ного исчисления, М.-П., 1923; Gourant К. und Hilbert D., Methoden d. matbematlschen Physik, B. 1, Berlin, 1924; Frank R. und M i s e s R., Dilfe-rential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Braunschweig, 1925. B. Степанов.

В АРИ 0 lA ETP, прибор для получения плавно изменяющейся (амоиндущии (см.). В. состоит из двух катушек, последовательно соединенных между собой. Изменение самоиндукции В. достигается помощью плавного перемещения одной его катушки по отношению к другой. На фиг. 1 представлен В., состоящий из двух плоских спиральных катушек: катушка Л неподвижна, катушка В насажена на вращающуюся рукоятку С. Фиг. 2 представляет вариометр, состоящий из двух цилиндрич. катушек: катушка А (большего диам.) неподвижна, катушка В перемещается при

помощи нити, перекинутой через ролики, по прямой линии, вплоть до положения, когда она входит целиком в неподвижную катушку А. На фиг. 3 и 4 представлены В., подвижные катушки которых В вращаются внутри неподвижных катушек А вокруг оси О, про-

Фиг. 1.

Фиг. 2.

Фиг. 3.

ходящей сквозь неподвижную катушку; вращающиеся катушки поворачиваются на 180° и обратно. В В. такого рода неподвижная катушка назьшается статором, а вращающаяся -ротором. У В., представленного на фиг. 4, статор-цилиндрич. катушка, а ротор-шаровидная; внешний диам. ротора здесь очень близок по величине

7£

5 ;

Угоя поворота Зращающейсй катушки в градусах Фиг. 4.

К внутреннему диам. статора, что дает ббльшую, чем в предыдущем случае, величину магнитной связи между ротором и стат/зром. ВВ., представленном на фиг, 3, и статор и ротор-шаровидные катушки, близкие друг К другу по своим диаметрам и размерам, что дает максимальную величину магнитной